最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。序言故事要从一个朋友开始，2018年3月，朋友为他的夫人购置了一款天然翡翠手镯，本来是一件非常值得高兴的事情，但却把他夫人气的够呛；原来，手镯的盒子里附带有鉴定证书上写着“A类”字，而朋友的夫人平时并没怎么接触翡翠，误以为是所谓的假货，这下还有鉴定为证，这不是实锤么。初次触过翡翠的人们，常见对于翡翠的A、B、C、D等级划分感到莫名其妙，甚至套用其他行业概念来看待翡翠的分级，闹了不少笑话，有趣的是，在行业中A类翡翠是天然纯正的达标。不过要注意的是，A类并不是就代表价格高、品质好，只是用来说明是天然的，未经过人工处理的翡翠，而最重要的，在于色、种、水的判断。天然翡翠戴久了还会变坏？大概是2017年的6月，我们接到了一个鉴定委托，一位女士经朋友介绍而来，表示自己收了一个翡翠戒指，说是清朝乾隆年间的老翡翠，持有私人机构的鉴定证书，证书赫然写着A类；朋友看了觉得私人机构不大靠谱，于是想让我们看看，结果下一看就出了问题，典型的蛛网纹，是酸洗的痕迹，于是，好端端的“A类”就变成了B类。事实上，由于缅甸对矿源的控制，翡翠原料价格增加，而为了满足市场的需求，不少商家就设法把那些质量不好的翡翠人工优化处理，来改善或改变翡翠的颜色及透明度，便产生了现在行业俗称的B、C、B+C。所谓A类即天然质地的翡翠，鉴别方式是通过强光灯下照射，观察质地，质地细腻、颜色柔和、石纹明显的，并且轻微碰撞，声音清脆悦耳，手掂有沉重感，显然有别于其他石质；颜色上以苗绿、菠菜绿、绯色、紫罗兰色最为常见。所谓B类将有黑斑的翡翠，用强酸浸泡，去掉脏与棉，增加透明度，再用高压将环氧树脂及相似替代品填充注入缝隙，加强缝隙强度。于是，观察B翡翠会发现，除看颜色不错，但是再灯光下，色彩透明度减弱；长久持有后会逐渐失去光泽，裂纹越来越多，进而变丑，这就是酸对翡翠结构的破坏；轻度敲击，声音发闷，不清脆。所谓C类完全人工注色的仿造制品，一眼即可发现颜色诡异，灯光下颜色不自然的存在于玉石晶体内部，填充的矿物裂缝中，呈现网状分布，没有色根；用查尔斯滤色镜观察，滤色由红或无色；颜色容易褪色。所谓D类冒充翡翠的石头，常见有青海翠玉，澳洲绿玉；而滤色玻璃及绿色树脂也是常见的仿品替代物。小结最近几年来，由于市场的火热，不少商家用B充当天然翡翠贩售给客户，也由于很多不够专业的鉴定机构和不法商家串通一气，出具的鉴定证书，使得客户受骗上当。于是，由于品质本身缺陷，初看品质极佳，而之后由于货品本身的缺陷，而逐渐劣化，货品贬值，完全失去了收藏价值。原位引自头条内容《「淘翠学堂」天然翡翠戴久还会变坏？翡翠货品的分级是这样的！》https://www.toutiao.com/i6552047267971334670/「更多翡翠知识，欢迎关注我们的“淘翠学堂”系列」 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。▲去看看浙江丽水市的云和梯田说到中国最美的梯田，许多人会说是云和梯田。我去过很多梯田，客观地说，即使不是所有人都认同云和梯田是最美梯田，那么它也绝对是中国最美的梯田之一，而且是独具江南稻作梯田韵味的一处美景。浙江省丽水市云和梯田，位于丽水市云和县的崇头镇，梯田最早开发于初唐时期，兴盛于元、明时期，距今已有千年以上的历史。云和梯田具有体量大、震撼力强、四季景观独特的特点，是我国华东地区最大的梯田群，也被许多媒体称为“中国最美梯田”。云和梯田分为“白银谷”片区和“云中别舍”片区。白银谷片区规模大、设有观景台，游览花的时间比较多。最好是从七星墩观景台开始游览，一路向下走到坑根石寨；云中别舍片区是观日出的好地方，“日出云海”很壮观。（详见后图。图1为游览图，图2是白银谷片区，图3是云中别舍片区。）云和梯田处在山水环绕之间，梯田、山村、溪流、云海、竹海交织成景，更加显得秀美而独具神韵。云和梯田如同一位四季美人：春穿花衫，水满田畴；夏披绿纱，禾海荡漾；秋着红装，金穗漫山；冬裹银装，雪染山峦。年复一年，这里的人们四季耕耘，这里的流水千年不竭，这里的风景轮回变幻。这里农人的先祖聪明而勤劳，他们用镐头、锄头和汗水，伐去山上的灌木与荆棘，挖去乱石、拣尽杂砾，在高低错落的山坡上，积年累月、日复一日，才一小块、一小快的开垦出层层叠叠的梯田。一代代人超越千年的艰辛开垦，才构筑了今天的云和梯田美景；一代代人付出了生命的接力，才使得这样的农耕方式传承至今。希望云和梯田这独特的农耕文化和独特的景致，能继续代代传承下去。来云和梯田看一看，春夏秋冬四季，这里的梯田轮回展示着不同的风景，每一季都是那么独特，那么秀美，那么神奇…… 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。▲去看看浙江丽水市的云和梯田说到中国最美的梯田，许多人会说是云和梯田。我去过很多梯田，客观地说，即使不是所有人都认同云和梯田是最美梯田，那么它也绝对是中国最美的梯田之一，而且是独具江南稻作梯田韵味的一处美景。浙江省丽水市云和梯田，位于丽水市云和县的崇头镇，梯田最早开发于初唐时期，兴盛于元、明时期，距今已有千年以上的历史。云和梯田具有体量大、震撼力强、四季景观独特的特点，是我国华东地区最大的梯田群，也被许多媒体称为“中国最美梯田”。云和梯田分为“白银谷”片区和“云中别舍”片区。白银谷片区规模大、设有观景台，游览花的时间比较多。最好是从七星墩观景台开始游览，一路向下走到坑根石寨；云中别舍片区是观日出的好地方，“日出云海”很壮观。（详见后图。图1为游览图，图2是白银谷片区，图3是云中别舍片区。）云和梯田处在山水环绕之间，梯田、山村、溪流、云海、竹海交织成景，更加显得秀美而独具神韵。云和梯田如同一位四季美人：春穿花衫，水满田畴；夏披绿纱，禾海荡漾；秋着红装，金穗漫山；冬裹银装，雪染山峦。年复一年，这里的人们四季耕耘，这里的流水千年不竭，这里的风景轮回变幻。这里农人的先祖聪明而勤劳，他们用镐头、锄头和汗水，伐去山上的灌木与荆棘，挖去乱石、拣尽杂砾，在高低错落的山坡上，积年累月、日复一日，才一小块、一小快的开垦出层层叠叠的梯田。一代代人超越千年的艰辛开垦，才构筑了今天的云和梯田美景；一代代人付出了生命的接力，才使得这样的农耕方式传承至今。希望云和梯田这独特的农耕文化和独特的景致，能继续代代传承下去。来云和梯田看一看，春夏秋冬四季，这里的梯田轮回展示着不同的风景，每一季都是那么独特，那么秀美，那么神奇……序言故事要从一个朋友开始，2018年3月，朋友为他的夫人购置了一款天然翡翠手镯，本来是一件非常值得高兴的事情，但却把他夫人气的够呛；原来，手镯的盒子里附带有鉴定证书上写着“A类”字，而朋友的夫人平时并没怎么接触翡翠，误以为是所谓的假货，这下还有鉴定为证，这不是实锤么。初次触过翡翠的人们，常见对于翡翠的A、B、C、D等级划分感到莫名其妙，甚至套用其他行业概念来看待翡翠的分级，闹了不少笑话，有趣的是，在行业中A类翡翠是天然纯正的达标。不过要注意的是，A类并不是就代表价格高、品质好，只是用来说明是天然的，未经过人工处理的翡翠，而最重要的，在于色、种、水的判断。天然翡翠戴久了还会变坏？大概是2017年的6月，我们接到了一个鉴定委托，一位女士经朋友介绍而来，表示自己收了一个翡翠戒指，说是清朝乾隆年间的老翡翠，持有私人机构的鉴定证书，证书赫然写着A类；朋友看了觉得私人机构不大靠谱，于是想让我们看看，结果下一看就出了问题，典型的蛛网纹，是酸洗的痕迹，于是，好端端的“A类”就变成了B类。事实上，由于缅甸对矿源的控制，翡翠原料价格增加，而为了满足市场的需求，不少商家就设法把那些质量不好的翡翠人工优化处理，来改善或改变翡翠的颜色及透明度，便产生了现在行业俗称的B、C、B+C。所谓A类即天然质地的翡翠，鉴别方式是通过强光灯下照射，观察质地，质地细腻、颜色柔和、石纹明显的，并且轻微碰撞，声音清脆悦耳，手掂有沉重感，显然有别于其他石质；颜色上以苗绿、菠菜绿、绯色、紫罗兰色最为常见。所谓B类将有黑斑的翡翠，用强酸浸泡，去掉脏与棉，增加透明度，再用高压将环氧树脂及相似替代品填充注入缝隙，加强缝隙强度。于是，观察B翡翠会发现，除看颜色不错，但是再灯光下，色彩透明度减弱；长久持有后会逐渐失去光泽，裂纹越来越多，进而变丑，这就是酸对翡翠结构的破坏；轻度敲击，声音发闷，不清脆。所谓C类完全人工注色的仿造制品，一眼即可发现颜色诡异，灯光下颜色不自然的存在于玉石晶体内部，填充的矿物裂缝中，呈现网状分布，没有色根；用查尔斯滤色镜观察，滤色由红或无色；颜色容易褪色。所谓D类冒充翡翠的石头，常见有青海翠玉，澳洲绿玉；而滤色玻璃及绿色树脂也是常见的仿品替代物。小结最近几年来，由于市场的火热，不少商家用B充当天然翡翠贩售给客户，也由于很多不够专业的鉴定机构和不法商家串通一气，出具的鉴定证书，使得客户受骗上当。于是，由于品质本身缺陷，初看品质极佳，而之后由于货品本身的缺陷，而逐渐劣化，货品贬值，完全失去了收藏价值。原位引自头条内容《「淘翠学堂」天然翡翠戴久还会变坏？翡翠货品的分级是这样的！》https://www.toutiao.com/i6552047267971334670/「更多翡翠知识，欢迎关注我们的“淘翠学堂”系列」 最近的话就强推这款，网易的手游，，楚留香，大型武侠RPG的游戏，号称手机上的天刀，游戏的画面操作打击感等很出色，在同类手游中也算上等，关键是游戏中的各种彩蛋，比如下雨时奔跑会有几率滑倒，或者如果你偷了卖水水果小贩的水果，会被他一直追着打为整体游戏加分不少，而其中的命格系统也非常有特色，你可以选择当一个世外高人，不问凡尘，也可以选择做一个大侠，到处行侠仗义。 不仅如此，而且游戏中还设置有大量的分支对话不同的对话，可能会导致故事和任务的走向，而你每做出一次选择，系统就会从中判定为你的各种性格加分，到最后你会在游戏世界中呈现出一个更真实的自己。 如果你是那种曾经梦想仗剑走天涯，后来作业太多就没去的那种，强烈建议你体验一下，如果你不喜欢太肝的话，也可以每天看看风景，偶尔调戏一下，卖瓜老王，也是不错的选择哦。宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x2+y2=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x2+y2=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x2+y2+z2=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x2+y2+z2+s2=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。欢迎关注，谢谢点赞吴冠中先生是著名的画家、油画家和美术教育家。吴先生的很多绘画作品广为流传，在这里不敢评价。吴先生的书法在网上偶尔可见，说实话不知真假，就看到的几幅字谈谈自己观点，先看字。从这两幅字而言，一幅是专门写的具有艺术性的书法作品《诗画恩怨》，这幅字不论真假，就书法的角度来说，一是不能算传统的书法作品，字体非楷非隶，只能算具有一些装饰性的方块汉字，二是，章法上随意任性，与传统的从右到左，从上到下的布局不同，落款位置、方式也不是书法约定俗成的写法。第二幅字《墨韵》是给中国艺术研究会的题字。这幅字形式上比较传统，但是书写随意，字无出处，法无传统，谈不上书法。纵观这两幅字，包括和网络上能看到的一些挂名吴冠中的字，基本的认识可以概括如下:吴冠中先生是画家，对于传统中国书法并没有深入的研究和系统的学习（人家是画家为什么一定要能写高级书法作品？），其书法谈不上什么水平，也就是日常书写，偶尔写一些应酬性的美术字和题字，与传统书法无关。根本谈不上什么瞎胡闹，吴先生是画家，绘画的专业水平不容置疑。书画虽然同源，但是现代艺术分类很细，要求也越来越高，各门艺术之间隔行隔行如隔山，苏轼、赵孟頫这类全才型艺术家基本不可能了。▲去看看浙江丽水市的云和梯田说到中国最美的梯田，许多人会说是云和梯田。我去过很多梯田，客观地说，即使不是所有人都认同云和梯田是最美梯田，那么它也绝对是中国最美的梯田之一，而且是独具江南稻作梯田韵味的一处美景。浙江省丽水市云和梯田，位于丽水市云和县的崇头镇，梯田最早开发于初唐时期，兴盛于元、明时期，距今已有千年以上的历史。云和梯田具有体量大、震撼力强、四季景观独特的特点，是我国华东地区最大的梯田群，也被许多媒体称为“中国最美梯田”。云和梯田分为“白银谷”片区和“云中别舍”片区。白银谷片区规模大、设有观景台，游览花的时间比较多。最好是从七星墩观景台开始游览，一路向下走到坑根石寨；云中别舍片区是观日出的好地方，“日出云海”很壮观。（详见后图。图1为游览图，图2是白银谷片区，图3是云中别舍片区。）云和梯田处在山水环绕之间，梯田、山村、溪流、云海、竹海交织成景，更加显得秀美而独具神韵。云和梯田如同一位四季美人：春穿花衫，水满田畴；夏披绿纱，禾海荡漾；秋着红装，金穗漫山；冬裹银装，雪染山峦。年复一年，这里的人们四季耕耘，这里的流水千年不竭，这里的风景轮回变幻。这里农人的先祖聪明而勤劳，他们用镐头、锄头和汗水，伐去山上的灌木与荆棘，挖去乱石、拣尽杂砾，在高低错落的山坡上，积年累月、日复一日，才一小块、一小快的开垦出层层叠叠的梯田。一代代人超越千年的艰辛开垦，才构筑了今天的云和梯田美景；一代代人付出了生命的接力，才使得这样的农耕方式传承至今。希望云和梯田这独特的农耕文化和独特的景致，能继续代代传承下去。来云和梯田看一看，春夏秋冬四季，这里的梯田轮回展示着不同的风景，每一季都是那么独特，那么秀美，那么神奇……序言故事要从一个朋友开始，2018年3月，朋友为他的夫人购置了一款天然翡翠手镯，本来是一件非常值得高兴的事情，但却把他夫人气的够呛；原来，手镯的盒子里附带有鉴定证书上写着“A类”字，而朋友的夫人平时并没怎么接触翡翠，误以为是所谓的假货，这下还有鉴定为证，这不是实锤么。初次触过翡翠的人们，常见对于翡翠的A、B、C、D等级划分感到莫名其妙，甚至套用其他行业概念来看待翡翠的分级，闹了不少笑话，有趣的是，在行业中A类翡翠是天然纯正的达标。不过要注意的是，A类并不是就代表价格高、品质好，只是用来说明是天然的，未经过人工处理的翡翠，而最重要的，在于色、种、水的判断。天然翡翠戴久了还会变坏？大概是2017年的6月，我们接到了一个鉴定委托，一位女士经朋友介绍而来，表示自己收了一个翡翠戒指，说是清朝乾隆年间的老翡翠，持有私人机构的鉴定证书，证书赫然写着A类；朋友看了觉得私人机构不大靠谱，于是想让我们看看，结果下一看就出了问题，典型的蛛网纹，是酸洗的痕迹，于是，好端端的“A类”就变成了B类。事实上，由于缅甸对矿源的控制，翡翠原料价格增加，而为了满足市场的需求，不少商家就设法把那些质量不好的翡翠人工优化处理，来改善或改变翡翠的颜色及透明度，便产生了现在行业俗称的B、C、B+C。所谓A类即天然质地的翡翠，鉴别方式是通过强光灯下照射，观察质地，质地细腻、颜色柔和、石纹明显的，并且轻微碰撞，声音清脆悦耳，手掂有沉重感，显然有别于其他石质；颜色上以苗绿、菠菜绿、绯色、紫罗兰色最为常见。所谓B类将有黑斑的翡翠，用强酸浸泡，去掉脏与棉，增加透明度，再用高压将环氧树脂及相似替代品填充注入缝隙，加强缝隙强度。于是，观察B翡翠会发现，除看颜色不错，但是再灯光下，色彩透明度减弱；长久持有后会逐渐失去光泽，裂纹越来越多，进而变丑，这就是酸对翡翠结构的破坏；轻度敲击，声音发闷，不清脆。所谓C类完全人工注色的仿造制品，一眼即可发现颜色诡异，灯光下颜色不自然的存在于玉石晶体内部，填充的矿物裂缝中，呈现网状分布，没有色根；用查尔斯滤色镜观察，滤色由红或无色；颜色容易褪色。所谓D类冒充翡翠的石头，常见有青海翠玉，澳洲绿玉；而滤色玻璃及绿色树脂也是常见的仿品替代物。小结最近几年来，由于市场的火热，不少商家用B充当天然翡翠贩售给客户，也由于很多不够专业的鉴定机构和不法商家串通一气，出具的鉴定证书，使得客户受骗上当。于是，由于品质本身缺陷，初看品质极佳，而之后由于货品本身的缺陷，而逐渐劣化，货品贬值，完全失去了收藏价值。原位引自头条内容《「淘翠学堂」天然翡翠戴久还会变坏？翡翠货品的分级是这样的！》https://www.toutiao.com/i6552047267971334670/「更多翡翠知识，欢迎关注我们的“淘翠学堂”系列」在成功路上，努力很重要，而且要十分努力才能取得成功。如果伴随着机遇和幸运，那更容易取得成功。如果不努力，幸运也许不会轻易降临你的头上，就是降临了也不会取得真正意义上的很大成功。当然有些人很努力了，由于方法不对，或者没运气，结果空空如也，那只好怨自己的命运了，因为幸运是可遇不可求的。幸运的人可以不要太努力而取得成功;而很努力的人也可能不夠幸运而失败，这是现实，那只能怨天、怨地、怨苦命了。
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