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3，欧几里德几何在整个数学的发展中处于什么地位

非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。

非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。欧几里德，其生卒年代不详，约活动于公元前300年前后（或前450年--前375年），是古希腊著名数学家。所著的《几何原本》至今仍是世界上通用的几何学教材。公元前387年左右，柏拉图举办“雅典学院”，欧几里德就在这个学院学习，后来其在几何学上的成就远超越柏拉图。大约在他30岁时，欧几里德受邀请来到当时希腊的政治文化中心亚历山大，在哪里他编著了《几何原本》一书。全书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。欧几里德几何学在人类数学与科学史上的主要贡献——一、欧几里德几何修正了前人的一些错误，并建立了严格的几何的体系《几何原本》原用希腊文写就的，后来被翻译成多种文字。首版于1482年，自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。欧氏几何一书的内容虽然大部分是前人的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德纠正了前人的一些错误，把以前不严格的证明重加论证，经过一番精细的整理和排列，构造出了一套几何体系，从而建立了具有严密逻辑体系的几何学。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧氏几何统治世界2000多年，直到19世纪几何学领域出现了非欧几何，几何学领域的欧式地位才与非欧几何共享。二、欧几里德几何是训练人类思维的最佳工具在遥远的古代，人类思维训练的最佳工具是阅读哲人的哲学著作。但哲学著作与欧几里德几何比起来，其思维的训练水平就要低级的多。欧几里德几何从公理出发，在定义、公设的基础上，通过演绎、分析、推理出结论。欧几里德几何是人类知识的一座丰碑，为人类知识的整理、系统阐述以及科学研究范式，提供了一种极佳模式。他运用千变万化的线段、图形数学语言，使得人类不同种族、不同语系、不同语种的国家和民族的人群，通过学习几何学提高了大脑的思维水平，锻炼了人的智力。可以说，要是没有欧几里德几何的出现，人类的发展水平不会达到现今如此的丰富与优裕。三、欧几里德几何为现代科学的诞生奠定了基础欧几里德几何为提高人类的思维水平立下了汗马功劳，更为近代以来科学的发展奠定了基础并立下了不朽功勋。人类近代以来的科学发展成就，很大程度上要归功于欧几里德几何的演绎推理法与比演绎推理法更早的归纳推理法。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西汇集在一起而已。科学上的伟大成就，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒、数学家像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海、电磁理论奠基人麦克斯韦等卓越人物，无不受到欧几里德几何学逻辑推理思维的影响，是对欧几里德几何演绎系统与公理化方法推理法的成功运用。牛顿的的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。四、欧几里德几何在晚明时期传入我国并被人翻译，但由于民族思维惯性、社会动乱和改朝换代，欧几里德几何译本被束之高，无人问津在晚明时期，意大利传教士利玛窦向明朝万历皇帝进贡了《欧几里德几何》、自鸣钟、八音琴和《坤舆万国全图》等礼物，徐光启与利玛窦一起翻译了《几何原本》，利玛窦在北京还协助徐光启编撰了59卷崇祯历书。皇帝只是把他们当做奇形异物欣赏，丝毫没有认识到一个新的时代早已来临。大明因时局动荡和保守派反对，未能推行这套先进历法，后被束之高阁与深宫。徐光启等人死后，就没有任何人看得懂了。此后，用了几个世纪的时间，一直到清末，欧几里德几何演绎体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学研究工作。历史给了一次中华民族向世界看齐并与世界一起腾飞的机会，但腐朽的明朝以及闭关锁国的大清朝都没有抓住这一时机，直到1840年英帝国坚船利炮打开中国大门，中国差点像印度一样完全沦为列强殖民地，中国才开始不得不学习西方的科学技术，重新开启民族复兴之路。

欧几里德，其生卒年代不详，约活动于公元前300年前后（或前450年--前375年），是古希腊著名数学家。所著的《几何原本》至今仍是世界上通用的几何学教材。公元前387年左右，柏拉图举办“雅典学院”，欧几里德就在这个学院学习，后来其在几何学上的成就远超越柏拉图。大约在他30岁时，欧几里德受邀请来到当时希腊的政治文化中心亚历山大，在哪里他编著了《几何原本》一书。全书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。欧几里德几何学在人类数学与科学史上的主要贡献——一、欧几里德几何修正了前人的一些错误，并建立了严格的几何的体系《几何原本》原用希腊文写就的，后来被翻译成多种文字。首版于1482年，自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。欧氏几何一书的内容虽然大部分是前人的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德纠正了前人的一些错误，把以前不严格的证明重加论证，经过一番精细的整理和排列，构造出了一套几何体系，从而建立了具有严密逻辑体系的几何学。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧氏几何统治世界2000多年，直到19世纪几何学领域出现了非欧几何，几何学领域的欧式地位才与非欧几何共享。二、欧几里德几何是训练人类思维的最佳工具在遥远的古代，人类思维训练的最佳工具是阅读哲人的哲学著作。但哲学著作与欧几里德几何比起来，其思维的训练水平就要低级的多。欧几里德几何从公理出发，在定义、公设的基础上，通过演绎、分析、推理出结论。欧几里德几何是人类知识的一座丰碑，为人类知识的整理、系统阐述以及科学研究范式，提供了一种极佳模式。他运用千变万化的线段、图形数学语言，使得人类不同种族、不同语系、不同语种的国家和民族的人群，通过学习几何学提高了大脑的思维水平，锻炼了人的智力。可以说，要是没有欧几里德几何的出现，人类的发展水平不会达到现今如此的丰富与优裕。三、欧几里德几何为现代科学的诞生奠定了基础欧几里德几何为提高人类的思维水平立下了汗马功劳，更为近代以来科学的发展奠定了基础并立下了不朽功勋。人类近代以来的科学发展成就，很大程度上要归功于欧几里德几何的演绎推理法与比演绎推理法更早的归纳推理法。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西汇集在一起而已。科学上的伟大成就，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒、数学家像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海、电磁理论奠基人麦克斯韦等卓越人物，无不受到欧几里德几何学逻辑推理思维的影响，是对欧几里德几何演绎系统与公理化方法推理法的成功运用。牛顿的的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。四、欧几里德几何在晚明时期传入我国并被人翻译，但由于民族思维惯性、社会动乱和改朝换代，欧几里德几何译本被束之高，无人问津在晚明时期，意大利传教士利玛窦向明朝万历皇帝进贡了《欧几里德几何》、自鸣钟、八音琴和《坤舆万国全图》等礼物，徐光启与利玛窦一起翻译了《几何原本》，利玛窦在北京还协助徐光启编撰了59卷崇祯历书。皇帝只是把他们当做奇形异物欣赏，丝毫没有认识到一个新的时代早已来临。大明因时局动荡和保守派反对，未能推行这套先进历法，后被束之高阁与深宫。徐光启等人死后，就没有任何人看得懂了。此后，用了几个世纪的时间，一直到清末，欧几里德几何演绎体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学研究工作。历史给了一次中华民族向世界看齐并与世界一起腾飞的机会，但腐朽的明朝以及闭关锁国的大清朝都没有抓住这一时机，直到1840年英帝国坚船利炮打开中国大门，中国差点像印度一样完全沦为列强殖民地，中国才开始不得不学习西方的科学技术，重新开启民族复兴之路。

欧几里德，其生卒年代不详，约活动于公元前300年前后（或前450年--前375年），是古希腊著名数学家。所著的《几何原本》至今仍是世界上通用的几何学教材。公元前387年左右，柏拉图举办“雅典学院”，欧几里德就在这个学院学习，后来其在几何学上的成就远超越柏拉图。大约在他30岁时，欧几里德受邀请来到当时希腊的政治文化中心亚历山大，在哪里他编著了《几何原本》一书。全书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。欧几里德几何学在人类数学与科学史上的主要贡献——一、欧几里德几何修正了前人的一些错误，并建立了严格的几何的体系《几何原本》原用希腊文写就的，后来被翻译成多种文字。首版于1482年，自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。欧氏几何一书的内容虽然大部分是前人的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德纠正了前人的一些错误，把以前不严格的证明重加论证，经过一番精细的整理和排列，构造出了一套几何体系，从而建立了具有严密逻辑体系的几何学。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧氏几何统治世界2000多年，直到19世纪几何学领域出现了非欧几何，几何学领域的欧式地位才与非欧几何共享。二、欧几里德几何是训练人类思维的最佳工具在遥远的古代，人类思维训练的最佳工具是阅读哲人的哲学著作。但哲学著作与欧几里德几何比起来，其思维的训练水平就要低级的多。欧几里德几何从公理出发，在定义、公设的基础上，通过演绎、分析、推理出结论。欧几里德几何是人类知识的一座丰碑，为人类知识的整理、系统阐述以及科学研究范式，提供了一种极佳模式。他运用千变万化的线段、图形数学语言，使得人类不同种族、不同语系、不同语种的国家和民族的人群，通过学习几何学提高了大脑的思维水平，锻炼了人的智力。可以说，要是没有欧几里德几何的出现，人类的发展水平不会达到现今如此的丰富与优裕。三、欧几里德几何为现代科学的诞生奠定了基础欧几里德几何为提高人类的思维水平立下了汗马功劳，更为近代以来科学的发展奠定了基础并立下了不朽功勋。人类近代以来的科学发展成就，很大程度上要归功于欧几里德几何的演绎推理法与比演绎推理法更早的归纳推理法。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西汇集在一起而已。科学上的伟大成就，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒、数学家像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海、电磁理论奠基人麦克斯韦等卓越人物，无不受到欧几里德几何学逻辑推理思维的影响，是对欧几里德几何演绎系统与公理化方法推理法的成功运用。牛顿的的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。四、欧几里德几何在晚明时期传入我国并被人翻译，但由于民族思维惯性、社会动乱和改朝换代，欧几里德几何译本被束之高，无人问津在晚明时期，意大利传教士利玛窦向明朝万历皇帝进贡了《欧几里德几何》、自鸣钟、八音琴和《坤舆万国全图》等礼物，徐光启与利玛窦一起翻译了《几何原本》，利玛窦在北京还协助徐光启编撰了59卷崇祯历书。皇帝只是把他们当做奇形异物欣赏，丝毫没有认识到一个新的时代早已来临。大明因时局动荡和保守派反对，未能推行这套先进历法，后被束之高阁与深宫。徐光启等人死后，就没有任何人看得懂了。此后，用了几个世纪的时间，一直到清末，欧几里德几何演绎体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学研究工作。历史给了一次中华民族向世界看齐并与世界一起腾飞的机会，但腐朽的明朝以及闭关锁国的大清朝都没有抓住这一时机，直到1840年英帝国坚船利炮打开中国大门，中国差点像印度一样完全沦为列强殖民地，中国才开始不得不学习西方的科学技术，重新开启民族复兴之路。椭圆公设欧几里得《几何原本》、牛顿《自然哲学的数学原理》都是基础研究的工具书，非常重要，必须再看。我们需要在前人研究基础上做归纳分析提出新的思路，用新思路指导创新研究。公理推演体系《几何原本》成就了牛顿的《自然哲学的数学原理》。牛顿首先假定无穷小的量dx存在，用二项式(x+dx)的n次方，减去x的n次方，得到增量再除以dx，最后设dx为0。这个假设在于最初无穷小的量dx不为零，最后却又让dx等于零。这里提到的无穷小的量dx它在微积分的规则里，时而参与运算，时而隐形而去。但在严密的数学证明中，无穷小的量成了牛顿终身的梦魇。由罗巴切夫斯基对“第五公设”的证明衍生出了非欧几何学，使“第五公设”成为了经典未解问题。同时《几何原本》的”庞斯命题”及其逻辑循环的“驴桥”，目前还是难以跨越的数学难关。也许是这些原因导致了在我国高等教育的学科布局中欧氏无刻度度量方法，鲜为人知，几乎成为了边缘学科，但这不能成为数学基础研究匮乏的理由。 倘若在“代数与图形”结合的应用建模中，针对无穷小的量，就可同欧氏几何规定无刻度的度量建立起联系。涉及到直线的无穷小的量使用公设I.1的线段，曲线的无穷小的量使用公设I.3的圆。然而，牛顿和莱布尼茨发明微积分的广泛应用已扩展到了流形，以致于数学界对微积分基础理论展开论战，最终导致了数学史上的第二次危机。笛卡尔创立解析几何以来，把自古希腊时代割裂的代数与几何所体现出的“数与形”都重新粘合在一起，同时把圆、椭圆、双曲线、抛物线归为一类曲线。他指出：在几何中，我们只追求推理的准确性，讨论这种曲线就像讨论更简单的曲线一样，都肯定是绝对严格的，不能相信是因为他们不愿意超越那两个公设，①两点间可作一条直线，②绕给定的中心可作一圆过一给定的点。但，他们在讨论圆锥截线时，就毫不犹豫地以任一给定的圆锥用给定的平面去截。与此同时，笛卡尔想到一条必要的假设，即两条或两条以上的线可以一条随一条地移动，并由它们的交点确定出其他曲线。基于上述归纳和分析，有理由提出原始设定的椭圆公设，并以椭圆公设所奠定的椭圆图形作为欧氏几何的第五个基础元素，并列在线段、直线、圆、直角之后。

欧几里德，其生卒年代不详，约活动于公元前300年前后（或前450年--前375年），是古希腊著名数学家。所著的《几何原本》至今仍是世界上通用的几何学教材。公元前387年左右，柏拉图举办“雅典学院”，欧几里德就在这个学院学习，后来其在几何学上的成就远超越柏拉图。大约在他30岁时，欧几里德受邀请来到当时希腊的政治文化中心亚历山大，在哪里他编著了《几何原本》一书。全书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。欧几里德几何学在人类数学与科学史上的主要贡献——一、欧几里德几何修正了前人的一些错误，并建立了严格的几何的体系《几何原本》原用希腊文写就的，后来被翻译成多种文字。首版于1482年，自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。欧氏几何一书的内容虽然大部分是前人的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德纠正了前人的一些错误，把以前不严格的证明重加论证，经过一番精细的整理和排列，构造出了一套几何体系，从而建立了具有严密逻辑体系的几何学。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧氏几何统治世界2000多年，直到19世纪几何学领域出现了非欧几何，几何学领域的欧式地位才与非欧几何共享。二、欧几里德几何是训练人类思维的最佳工具在遥远的古代，人类思维训练的最佳工具是阅读哲人的哲学著作。但哲学著作与欧几里德几何比起来，其思维的训练水平就要低级的多。欧几里德几何从公理出发，在定义、公设的基础上，通过演绎、分析、推理出结论。欧几里德几何是人类知识的一座丰碑，为人类知识的整理、系统阐述以及科学研究范式，提供了一种极佳模式。他运用千变万化的线段、图形数学语言，使得人类不同种族、不同语系、不同语种的国家和民族的人群，通过学习几何学提高了大脑的思维水平，锻炼了人的智力。可以说，要是没有欧几里德几何的出现，人类的发展水平不会达到现今如此的丰富与优裕。三、欧几里德几何为现代科学的诞生奠定了基础欧几里德几何为提高人类的思维水平立下了汗马功劳，更为近代以来科学的发展奠定了基础并立下了不朽功勋。人类近代以来的科学发展成就，很大程度上要归功于欧几里德几何的演绎推理法与比演绎推理法更早的归纳推理法。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西汇集在一起而已。科学上的伟大成就，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒、数学家像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海、电磁理论奠基人麦克斯韦等卓越人物，无不受到欧几里德几何学逻辑推理思维的影响，是对欧几里德几何演绎系统与公理化方法推理法的成功运用。牛顿的的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。四、欧几里德几何在晚明时期传入我国并被人翻译，但由于民族思维惯性、社会动乱和改朝换代，欧几里德几何译本被束之高，无人问津在晚明时期，意大利传教士利玛窦向明朝万历皇帝进贡了《欧几里德几何》、自鸣钟、八音琴和《坤舆万国全图》等礼物，徐光启与利玛窦一起翻译了《几何原本》，利玛窦在北京还协助徐光启编撰了59卷崇祯历书。皇帝只是把他们当做奇形异物欣赏，丝毫没有认识到一个新的时代早已来临。大明因时局动荡和保守派反对，未能推行这套先进历法，后被束之高阁与深宫。徐光启等人死后，就没有任何人看得懂了。此后，用了几个世纪的时间，一直到清末，欧几里德几何演绎体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学研究工作。历史给了一次中华民族向世界看齐并与世界一起腾飞的机会，但腐朽的明朝以及闭关锁国的大清朝都没有抓住这一时机，直到1840年英帝国坚船利炮打开中国大门，中国差点像印度一样完全沦为列强殖民地，中国才开始不得不学习西方的科学技术，重新开启民族复兴之路。椭圆公设欧几里得《几何原本》、牛顿《自然哲学的数学原理》都是基础研究的工具书，非常重要，必须再看。我们需要在前人研究基础上做归纳分析提出新的思路，用新思路指导创新研究。公理推演体系《几何原本》成就了牛顿的《自然哲学的数学原理》。牛顿首先假定无穷小的量dx存在，用二项式(x+dx)的n次方，减去x的n次方，得到增量再除以dx，最后设dx为0。这个假设在于最初无穷小的量dx不为零，最后却又让dx等于零。这里提到的无穷小的量dx它在微积分的规则里，时而参与运算，时而隐形而去。但在严密的数学证明中，无穷小的量成了牛顿终身的梦魇。由罗巴切夫斯基对“第五公设”的证明衍生出了非欧几何学，使“第五公设”成为了经典未解问题。同时《几何原本》的”庞斯命题”及其逻辑循环的“驴桥”，目前还是难以跨越的数学难关。也许是这些原因导致了在我国高等教育的学科布局中欧氏无刻度度量方法，鲜为人知，几乎成为了边缘学科，但这不能成为数学基础研究匮乏的理由。 倘若在“代数与图形”结合的应用建模中，针对无穷小的量，就可同欧氏几何规定无刻度的度量建立起联系。涉及到直线的无穷小的量使用公设I.1的线段，曲线的无穷小的量使用公设I.3的圆。然而，牛顿和莱布尼茨发明微积分的广泛应用已扩展到了流形，以致于数学界对微积分基础理论展开论战，最终导致了数学史上的第二次危机。笛卡尔创立解析几何以来，把自古希腊时代割裂的代数与几何所体现出的“数与形”都重新粘合在一起，同时把圆、椭圆、双曲线、抛物线归为一类曲线。他指出：在几何中，我们只追求推理的准确性，讨论这种曲线就像讨论更简单的曲线一样，都肯定是绝对严格的，不能相信是因为他们不愿意超越那两个公设，①两点间可作一条直线，②绕给定的中心可作一圆过一给定的点。但，他们在讨论圆锥截线时，就毫不犹豫地以任一给定的圆锥用给定的平面去截。与此同时，笛卡尔想到一条必要的假设，即两条或两条以上的线可以一条随一条地移动，并由它们的交点确定出其他曲线。基于上述归纳和分析，有理由提出原始设定的椭圆公设，并以椭圆公设所奠定的椭圆图形作为欧氏几何的第五个基础元素，并列在线段、直线、圆、直角之后。數學不是臆想!數學中的公理雖然不需要證明，也無法證明。但這絕對不是臆想!數學中的公理有極為深厚的實踐基礎。它是人類對自然界長期觀察和思考之後產生的結晶。不是隨便什麼命題都可以成為公理。公理化體系的確立，是一件非常嚴謹的大事。歷史上曾經有過非常激烈的爭論。現在的公理化體系是在取得一致共識的基礎上形成的。任何一門科學，總是要有一個出發點，要有一些前提。數學中的公理就屬於這一類。前提不具備，數學就無法進展。但這些前提必須是可靠的，是能夠經得起檢驗的。歐氏幾何與非歐幾何，所依據的前提是不同的。焦點在於對平行線如何認識。應該說，數學的處理是非常明智的，正因為如此，數學才為人類的科技進步提供了強有力的支撐。

非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。

非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。欧几里德，其生卒年代不详，约活动于公元前300年前后（或前450年--前375年），是古希腊著名数学家。所著的《几何原本》至今仍是世界上通用的几何学教材。公元前387年左右，柏拉图举办“雅典学院”，欧几里德就在这个学院学习，后来其在几何学上的成就远超越柏拉图。大约在他30岁时，欧几里德受邀请来到当时希腊的政治文化中心亚历山大，在哪里他编著了《几何原本》一书。全书共分十五卷，第一、二、三、四、六卷都是关于平面几何的。第五卷是关于一般的比例图形。第七、八、九卷是关于算术方面的。第十卷是关于直线上的点。最后五卷则是关于立体几何的。欧几里德几何学在人类数学与科学史上的主要贡献——一、欧几里德几何修正了前人的一些错误，并建立了严格的几何的体系《几何原本》原用希腊文写就的，后来被翻译成多种文字。首版于1482年，自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。欧氏几何一书的内容虽然大部分是前人的，证题方法也多沿用希腊人的，但欧几里德纠正了前人的一些错误，把以前不严格的证明重加论证，经过一番精细的整理和排列，构造出了一套几何体系，从而建立了具有严密逻辑体系的几何学。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧氏几何统治世界2000多年，直到19世纪几何学领域出现了非欧几何，几何学领域的欧式地位才与非欧几何共享。二、欧几里德几何是训练人类思维的最佳工具在遥远的古代，人类思维训练的最佳工具是阅读哲人的哲学著作。但哲学著作与欧几里德几何比起来，其思维的训练水平就要低级的多。欧几里德几何从公理出发，在定义、公设的基础上，通过演绎、分析、推理出结论。欧几里德几何是人类知识的一座丰碑，为人类知识的整理、系统阐述以及科学研究范式，提供了一种极佳模式。他运用千变万化的线段、图形数学语言，使得人类不同种族、不同语系、不同语种的国家和民族的人群，通过学习几何学提高了大脑的思维水平，锻炼了人的智力。可以说，要是没有欧几里德几何的出现，人类的发展水平不会达到现今如此的丰富与优裕。三、欧几里德几何为现代科学的诞生奠定了基础欧几里德几何为提高人类的思维水平立下了汗马功劳，更为近代以来科学的发展奠定了基础并立下了不朽功勋。人类近代以来的科学发展成就，很大程度上要归功于欧几里德几何的演绎推理法与比演绎推理法更早的归纳推理法。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西汇集在一起而已。科学上的伟大成就，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒、数学家像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海、电磁理论奠基人麦克斯韦等卓越人物，无不受到欧几里德几何学逻辑推理思维的影响，是对欧几里德几何演绎系统与公理化方法推理法的成功运用。牛顿的的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。四、欧几里德几何在晚明时期传入我国并被人翻译，但由于民族思维惯性、社会动乱和改朝换代，欧几里德几何译本被束之高，无人问津在晚明时期，意大利传教士利玛窦向明朝万历皇帝进贡了《欧几里德几何》、自鸣钟、八音琴和《坤舆万国全图》等礼物，徐光启与利玛窦一起翻译了《几何原本》，利玛窦在北京还协助徐光启编撰了59卷崇祯历书。皇帝只是把他们当做奇形异物欣赏，丝毫没有认识到一个新的时代早已来临。大明因时局动荡和保守派反对，未能推行这套先进历法，后被束之高阁与深宫。徐光启等人死后，就没有任何人看得懂了。此后，用了几个世纪的时间，一直到清末，欧几里德几何演绎体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学研究工作。历史给了一次中华民族向世界看齐并与世界一起腾飞的机会，但腐朽的明朝以及闭关锁国的大清朝都没有抓住这一时机，直到1840年英帝国坚船利炮打开中国大门，中国差点像印度一样完全沦为列强殖民地，中国才开始不得不学习西方的科学技术，重新开启民族复兴之路。

4，欧几里得几何APP解法求助510

1. 作一个正方形ABCD2. 作AB的垂直平分线EF交DC于G，3. 作AE的垂直平分线交EF于H，4. 以H为圆心、HA为半径作圆H.

5，带角标的欧几里德范数怎么求

x是n维向量(x1,x2,…,xn)， ||x||＝根号(|x1|方+|x2|方+…+|xn|方) 补充：开平方，跟几何一样 Euclidean范数指得就是通常意义上的

6，平行线的相交问题

咱们现在学到的都是欧几里得几何，他里面是不会相交的 但是在罗巴斯切夫几何里是可以相交的，他里面三角形内角和小于180度

平行线不会相交,用反证法可得出.

不会相交。就好象你吃了一个苹果就少个苹果一样。

7，欧几里得公设高手请入

有没有这条公设都不会影响到几何的相容性。即没有这条平行公设，或者换成其他同类型的公设，形成的几何依然可以成立，即形成的几何本身不会产生矛盾。一般将没有欧几里得第五公设的几何称为非欧几何罗巴切夫斯基最早发现的非欧几里得几何，他的这条公设是： 过线外一点，至少有两条直线不与已知直线相交他认为不相交，就是平行可以举一个例子，圆内几何，假设几何空间是圆的内部出去边界部分，显然过园内某条直线外一点有无数直线不和这条直线相交。黎曼在前人基础上建立了更广泛的一种几何叫黎曼几何，其中也举出了一个例子，叫做球面几何。关于几何基础问题的研究和非欧几何可以看希尔伯特写的《几何基础》，拓扑学以及黎曼几何等相关教材。

5、若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线，必在和小于二直角的一侧相交。 ——摘自《几何原本和第五公设》

我们生活在四维空间里，但我们看事物就是三维的。当第四维出现了我们不能理解的弯曲的时候，三维里的直线就不再是直线，所以在四维空间里就肯定存在不只一条“直线”与已知直线平行！具体可以去研究一下第四维空间的有关内容，以及楼上某位所说的黎曼几何。

8，几何学与欧几里德 尽量简练

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。 欧几里得几何有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。 三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。 数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里得平面几何的五条公理(公设)是： 1.任意两个点可以通过一条直线连接。 2.任意线段能无限延伸成一条直线。 3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 4.所有直角都全等。 5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

9，数学世界排名第一的人是谁

一般认为是阿基米德。当然，将数学家进行具体排名本身不太靠谱，不过根据贡献，可以划分为4个梯度：第一梯队：阿基米德、牛顿、高斯、欧拉、黎曼。第二梯队：欧几里得、莱布尼茨、拉格朗日、笛卡尔、陈省身、柯西、伽瓦罗、庞加莱、希尔伯特、格罗滕迪克。第三梯队：祖冲之、丘成桐、图灵、西尔维斯特、冯诺伊曼、康托尔等。第四梯队：一般数学家。数学世界排名第一的人是谁？数学家用准确的排名根本就不靠谱，毕竟每个人所处的时代不一样，研究的领域也不一样，把他们拉出来排个高低，就像在问中国历史上哪位皇帝最伟大一样，很难得到统一的答案。如果一定要给个排行，用梯度划分比较合适。如果一定要说谁是第一，那么一般认为是享有“力学之父”和“数学之神”美称的阿基米德。虽然成就是不分高低，但是贡献是可以分出高低的，全部可以划分为4个梯度。第一梯队：影响人类文明进程共5人：阿基米德、牛顿、高斯、欧拉、黎曼先说阿基米德，世界公认的数学领域的祖师爷，第一梯队肯定少不了他。虽然很多人认为阿基米德顶多是欧几里得的水平，但是在数学领域的影响力上，欧几里得和阿基米德则完全不是一个档次。类似的还有牛顿，很多人觉得莱布尼茨和牛顿同时发明微积分，牛顿为什么可以排在第一梯队，而莱布尼茨却不行？原因就是牛顿影响力比莱布尼茨高几个段位，对数学推动和发展比莱布尼茨大得多。阿基米德和牛顿单论数学领域的成就，其实并不突出，但是在自然科学一定离不开这两人，所以没得选，至于欧拉和高斯在数学领域的成就，就像是诗词界的李白和杜甫，两人成就不相上下。至于黎曼，也是绝对不能忽视的神级数学大师，他在数学领域中的地位，更像是新时代的开创者，黎曼几何于现代数学的意义犹如相对论于现代物理，黎曼在现代数学中的地位是绝对的NO.1，真正学数学的人，都会把黎曼排在第一。这5位都是改变数学史的数学家，人类文明的数学是他们开创的，没有他们就没有现在的数学领域，所以排在第一梯队，应该没有人会反对。第二梯队：开创某个数学领域共10人：欧几里得，莱布尼茨，拉格朗日，笛卡尔，陈省身，柯西，伽瓦罗，庞加莱，希尔伯特、格罗滕迪克第二梯队以开创某个数学领域为标准，是对数学贡献最大的一批人。他们不断地开拓新的数学领域，并在自己的领域有着极其重要的贡献，比如欧几里得开创了几何领域，莱布尼茨对微积分的贡献，陈省身开创了微分几何，伽罗瓦提出了群论。这些数学家在各自的领域，都是绝对的大佬级别，站在了数学界的巅峰，每个人都有自己的拥簇，都足以排在前10名，但是无论无何，他们都无法撼动第一梯队的5位大佬。第三梯队：解决重大问题人数比较多：祖冲之、丘成桐、图灵，西尔维斯特，冯诺伊曼，康托尔等等第三梯队的标准就是解决了某些重大问题，对数学乃至科学有重大影响，比如祖冲之对圆周率的贡献，丘成桐的卡拉比猜想，图灵在计算机领域的贡献，冯诺伊曼的博弈论等。这个梯队的数学家数量非常多，也经常被我们提起，他们的事迹往往比较精彩，虽然没有开创性的数学领域，但他们攻克了一定难题，在自然科学史上有他们的一席之地，后来经常会用到他们的理论。第四梯队：解决普通问题这一梯队的数学家就是一般的数学家，也是数量最多的一批，他们的贡献并不突出，也没有解决重大问题，但是却用自己的方式热爱着数学，哪怕是只为前进一小步，也在用自己的方式，为数学领域贡献着自己的一份力。

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