仿射函数即由由1阶多项式构成的函数,一般形式为 f (x) = A x + b,这里,A 是一个 m×k 矩阵,x 和 b 都是一个 m 向量,实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性(值)函数,若它可以表示为f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b,其中Ai可以是标量,也可以是矩阵,则称f是仿射函数。 其中的特例是,标性(值)函数f(x)=ax+b,其中a、x、b都是标量。此时严格讲,只有b=0时,仿射函数才可以叫“线性函数”(“正比例”关系)。 就一般情形,函数f是仿射函数的充要条件是:对于任意两组向量x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn,对于任意0<=p<=1,如果f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]==pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。(“==”表示恒等) 一般称线性组合“p1x1+p2x2+…+pnxn,其中p1+p2+…+pn=1”为仿射组合;一般称所有pi>=0的仿射组合为凸组合。 其实一般意义上的仿射函数是一个矩阵函数,如果构成一个类似LMI的不等式,可以成为仿射矩阵不等式.映射f:d→y对于x1,x2∈d,x1≠x2推出f(x1)≠f(x2),则是单射;对于对于y中任意一个元素都有原像与之对应,即是满射。注意:[1]谈单设,满射是针对一般映射而言的,函数是一个特殊的映射;[2]一旦规定了是函数,他肯定是一个满射,因为函数的要素:定义域,法则,值域。其中值域是像的集合,既然是像的集合,那么其中每一个元素都原像了。[3]典型的单设:单调函数,不是单射的函数:偶函数