baoyu133 con,怎样辨认玉器好坏
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1,怎样辨认玉器好坏
鉴定玉的品质,有六条标准,即“色、透、匀、形、敲、照”。
http://377haobobaoyu.taobao.com 对翡翠成品,因已明朗化,故对它进行质量与价值评价是比较容易的,但还需要注意它的形状好坏,不能太薄,不能扭歪,厚薄适中。若为戒面,五形状要象“白果”那样饱满大方。可是要对一块翡翠原料进行质量与价值评价,那就十分困难了,这就是民间所说的“神仙难断寸玉”,因为可见硬玉部分的好坏,完全不能代表内部的好坏,内外之别是十分惊人的。 对翡翠的评价主要翠“色”“水”“地”来评价,其次为杂质、裂纹及形状大小等。http://www.daqijie.com/article-31-1.html鉴定玉的品质,有六条标准,即“色、透、匀、形、敲、照”。
(1)色
玉以绿色为最佳,红、紫二色玉石的价值仅为绿色玉石的1/5。玉当中若含红、紫、绿、白四色,称为“福禄寿喜”;若只含红、绿、白三色,则为“福禄寿”。色泽暗淡、微黄色的为下品。如果是单色玉,以色泽均匀的为好。
(2)透
透明晶莹如玻璃,没有脏杂斑点,不发糠、不发涩的为上品。半透明、不透明的玉,则分别称为中级玉和普通玉。在清朝和清朝以前,带有红、绿、白三种颜色的玉才称为翡翠玉。到了现代,翡翠玉泛指一般透明的玉。目前的翡翠以透明并带绿色的居多。
(3)匀
玉的色泽重在均匀,虽含白、绿但色泽不均匀的,则价值很低。
(4)形
玉石的形状可根据不同的审美要求,加工成不同的样式,无特殊标准。一般地说,玉石的个头愈大愈好。
(5)敲
玉当中常有断裂、割纹,一般不易观察到,如果用金属棒敲一敲,或者把玉轻轻抛在台板上,可以从声音的清浊辨出裂纹存在与否。声音越清脆越好。
(6)照
玉当中有肉眼不易发现的黑点、瑕疵,只要用10倍放大镜照一照,便可一览无余。
玉的品质可分为10级,每一级又可细分为上、中、下3档。其中,白玉无论其色泽好坏,透明度如何,价值都是最低的。http://news.163yu.com/2011/0908/3380.html玉器真假辨别法 玉器价格昂贵,挑选技术要求很高,绝大多数消费者都难以辨别其优劣、真假,稍有不慎就容易购买到劣质品或假货,蒙受重大的经济损失。市场上销售的玉器店家很多,玉器一般分为软玉和硬玉两大类。硬玉又叫翡翠。从化学业成分来说,软玉是含钙、镁和铁的硅酸盐;硬玉是含钠和铝的硅酸盐。 下面介绍玉器的优劣、真假辨别方法: 水鉴别法→ 将一滴水滴在玉上,如成露珠状久不散开者真玉;水滴很快消失的是伪劣货。 手触摸法→ 若是真玉用手摸一摸,有冰凉润滑之感。 视察法→ 将玉器朝向光明处,如阳光、灯光处,如果颜色剔透、绿色均匀分布就是真玉。 舌舐法→ 舌尖舐真玉有涩的感觉;而假玉则无涩的感觉。 放大镜观看法→ 将选购的玉器放在放大镜下观看,主要是有无裂痕,无裂痕者为上乘优质玉,有裂痕者为次之。即使是真玉,有裂痕的其价值亦大减,裂痕越多越明显的,价值也就越低。 
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56、 福建《快乐语文》56 klywgnxs@126.com57、 福建《小火炬》 xiaohuoju@126.com58 、福建《小学生周报》 lingjie@126.com59、 福建《学生周报》 zhoubaoxp@163.com60 、甘肃《故事作文》 396607928@qq.com61、 甘肃《故事作文》 gszw226@163.com62 甘肃《妈妈画刊》12 mamahuakan@163.com63 、甘肃《少年文摘报》 1954290830@qq.com64 、甘肃《未来导报》 285175752@qq.com65、 甘肃《小学生报》 xlzdb@163.com66 、甘肃《学生天地》12 tiandidiyou@163.com67、 甘肃《学生天地》3-6 tiandizhonggao@163.com68 、甘肃《学生天地●大作文》 xstd zwzk@126.com69、 甘肃《意林童话》 yilintonghua2011@163.com、70、 广东《广东第二课堂》 dekt@gdjy.cn71 、广东《孩子》(小学版) childtxty@vip.163.com72、 广东《花季雨季●快乐文学少年》 daduxiong@126.com73 、广东《花季雨季●阅读与作文》 huajiyuji2011@163.com74、 广东《少先队员》 sxdyzz@163.com75 、广东《现代中小学生报》 xdzxxsbxsjzz@126.com76 、广东《小伙伴》 xhbbook@163.com77 、广东《小艺术家》 83565422@163.com78、 广东《学习周报》1 xxzby_rj1@126.com79、 广东《学习周报》2 xxzby_rj2@126.com80、 广东《学习周报》6 xxzby_rj6@126.com81、 广西《创新作文》12 cxzw2010@163.com82、 广西《创新作文》34 cxzw888@163.com83、 广西《创新作文》56 itmag@163.com84 、广西《科学与奥秘》 xbska@126.com85、 广西《小博士报》12 qmb999@163.com86、
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314 天津《开心学堂》 kaixinxuetang@126.com315 天津《求知报》 qzzks@126.com316 天津《少年心世界》 snxsj@126.com317 天津《同学少年》 txsn@sina.com318 天津《童话王国(原创版)》 tonghuawg@126.com319 天津《小学生作文》(低) xxszw@126.com320 天津《小学生作文》56 xxszw2@126.com321 香港《儿童报》 ertongbao@163.com322 云南《蜜蜂报》 mifengbao@sina.com323 云南《学生新报》 xueshengxinbao@163.com324 浙江《21世纪少年作家》 webmaster@sharpwriter.net325 浙江《轻松学语文》 1426573224@qq.com326 浙江《少年作家》 zjsnzj@163.com327 浙江《未来作家报》3-6 xxb@wlzjb.com328 浙江《小爱迪生》 xads2000@263.net
329 浙江《小学生时代》 xxssd@zjjybkzs.com330 浙江《小学生世界》12 ertongshi@yahoo.com.cn331 浙江《幽默大师》 molizhihui@qq.com332 浙江《幼儿智力世界》 yzsj@zjcb.com333 浙江《智慧》读写 1966417131@qq.com334 浙江《作文新天地》 zwxtd@jxyk.com335 重庆《少年读者》12 xueyuwen_xd@163.com336 重庆《少年读者》3-6 xueyuwen_xg@163.com337 重庆《少年先锋报》 snxfb@163.com338 重庆《世界儿童》 shuxin517@yahoo.com.cn339 重庆《小学生新作文》 xzw@new-class.cn340 重庆《小学生阅读》 sjet@vip.sina.com
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3,133号段是哪个运营商
133号段的运营商是中国电信。2008年6月,中国电信以1100亿元巨资收购了中国联通CDMA网络,这意味着以133和153开头的4300万中国联通用户很快将由中国电信来提供服务。2008年5月23日,中国联通分拆双网,其中CDMA网络并入中国电信,从2008年10月01日正式开始分拆,133和153号段正式并入中国电信,联通停止CDMA业务,保留GSM网络与中国网通组成新的联通集团。133号段的发展:2008年10月15日,中国联通、中国网通集团公司正式合并。2009年1月7日经国务院同意,中国联合通信有限公司与中国网络通信集团公司重组合并,新公司名称为中国联合网络通信集团有限公司,由国资委代表国务院对其履行出资人职责。自此,新洛阳联通诞生。2019年6月6日,中国电信获得工业和信息化部颁发的“第五代数字蜂窝移动通信业务”经营许可。意味着以133和153开头的4300万中国联通用户很快将由中国电信来提供服务。以上内容参考:百度百科-133 (中国电信133号段)
4,怎样能是卤出的东西油性少些用色素能使颜色好看怎么么用比较好
卤水是越久越好越久越香,同样的道理,你旁边那家应该是一开始 就有放色素 的习惯,或者是你买的色素质量或者颜色的问题吧!
用糖色做出来的食品 色 香 味具全 而且还有营养 不要用色素对人体有害的操作要领与特点:
1、配制高质量的卤水。卤水的好坏,决定卤制品的质量。制好卤水的关键是卤料要齐备。潮汕卤水的配料包括:桂皮、八角、甘草、香芒、丁香、陈皮、南姜、蒜头、上等豉油、红豉油、料酒、芫荽头、葱头、白糖、味精、精盐、川椒、罗汉果等(各种卤料的数量比例可参阅下面“卤狮头鹅”例。)
2、掌握好卤制的火候。卤的火力多用慢火浸煮,中间也可短时间用中火。卤的时间根据原料的大小与性质而定。卤鹅鸭类在卤制过程中,还需把原料提出卤锅数次,把腹腔中积存的卤水倒出,当原料再次浸入卤锅时须让滚烫的新卤水灌入腹腔内,使其内外受热均匀。卤制时还需注意翻动原料,使入味均匀。
3、卤制的原料包括家禽、家畜及大部分脏杂,野禽、香菇、豆干、蛋品等。潮汕卤制最常见的原料是鹅、鸭、猪头、猪肉、猪脚、猪杂(包括猪舌、猪肚、猪肠、猪粉肠、以及猪肝、猪心等)。
4、卤汁可以连续使用,但要注意两点,一是在停顿的情况下,每天要煮滚一次,以防变质。夏天气温高,最好能存入冰柜中。一是要不断加进新的卤料,因为的卤的物料多了,香味为物料所吸取,汤汁变淡,增加卤料,才能保存卤香。
从下面凉菜中找,有好多正宗卤菜的做法。我们有几百种凉菜的做法技术视频。教你学会各种可口的凉菜。如需请和dtgcjsyjs@163.com联系。部分目录如下:
1、糖醋甘兰菜、2、拌什锦菜、3、酸辣西瓜条、4、四川泡菜、5、什锦果酱、6、拌海带、7、麻酱茄子、8、盘香黄瓜、9、酸辣黄瓜、10、拌干豆腐丝、11、生拌胡萝卜丝、12、油酥黄豆、13、辣拌油菜、
14、糖醋莴笋、15、冷切猪肉卷、16、酱猪肝、17、姜汁豆角、18、拌香干、19、凉拌土豆丝、20、珊瑚白菜、21、葱油豆腐、22、皮蛋豆腐、23、蒜泥茄子、24、金钱土豆、25、香菜大头、餐饮-凉菜-26、海米拌芹菜、27、芥茉白菜、28、炝莲菜、29、素烧鸭、30、银鱼花生、31、酥炸芝麻枣、32、涝山水腌萝卜条、33、时蔬小豆腐、34、虾仁辣白菜、35、白菜蜇皮、36、酿白兰瓜、37、姜汁四季豆、38、蚝油凤爪、39、花椒鱼条、40、酱拌芹菜、41、拌香干、42、珊瑚白菜、43、葱油豆腐、44、炝莲菜、45、花连菜、46、皮蛋豆腐、47、拌榨菜丝、48、珊瑚黄瓜、49、蒜泥茄子、50、糖醋白菜、51、凉拌香干、52、香菜大头、53、虎皮尖椒、54、雪菜黄豆、55、干煸三丁、56、干椒豆豉、57、生鸡丝炝锅、58、绿豆芽、59、白菜丝、60、莲菜丝、61、海米拌芹菜62、芥茉白菜、63、小葱拌豆腐、64、糖醋萝卜丝、65、小料、66、拍黄瓜、67、 姜汁豆角、68、蒜辣蘸汁、69、红油醋卤汁、70、番茄蘸汁、71、酸辣菜汁、72、虾酱蘸汁、73、多味蘸汁、74、麻酱豆角、75、金钱土豆、76、 鸡丝拉皮、77、奶油茭白、78、肉丝拉皮、79、奶油吉利丸子、80、柠檬瓜条、81、酱猪肝、82、冷却猪肉卷、83、菊花白菜、84、卤的制作、85、卤水八瓜鱼、86、香酥鲫鱼、87、红曲鸡胗、88、虎皮大肠、89、蜜汁乳鸽、90、玫瑰鸡腿 、91、小晶肴蹄、92、碎香肉、93、香麻牛柳 94、红卤牛舌、95、山东烧鸡、96、珊瑚鸭掌、97、照烧鸭胸、98、卤水鸭舌99、香葱海螺、100、油焖香虾、101、香辣黄瓜、102、金钱牛肚103、 海鲜果仁、104、黑鱼大烤、105、香椿青豆 、106卤水猪耳、107、三色鳝鱼丝 、108、茄汁鹌鹑、109、辣根龙筋、110、糖醋水萝卜、111、登瀛爆鱼、112、卤水猪心、113、素烧鹅、114、鲁式泡菜、115、密汁人参、116、香糟凤爪、117、醉三黄鸡、118、酒香牛腱、119、香卤素火腿、120、桔香瓜条、121、芥末瓜墩、122、酱汁排骨、123、香辣凤翅、124、葱香仔鸡、125、糟银鱼、126糟富贵螺、127、芹仁鱼丝、128、糟蛏子、129、糟干丝、130、糟海蛎子、131、糟芦笋、132、糟鸭、133、糟牛蛙、134、糟排骨、135 糟鸡、136、糟墨鱼、137、糟猪肚、138、糟凤爪、139、糟鱼头、140、糟佛手、141、糟鲍鱼、142、糟猪舌、143、糟蹄筋、144、糟鸽子、145、红糟螺片、146、糟花生、147、糟青虾、148、糟鸡翅、149、糟猪耳、150、糟甜豆、151、糟鸭掌、152、糟鹌鹑、153、糟猪心、154、糟鹅掌、155、糟黄花鱼、156、糟鸡心、157、糟鸭胗、158、糟龙虾、159、糟鹅肝、160、 糟虾仁、161、 糟鹅肝、162、糟多孔菌、163、糟鸭舌、164、糟鲜蟹、165、 糟菜笋、166、红糟鸡片、167、蛋皮卷肉、168、金针菇拌仙人掌、169、红油莴笋170、红油甘蓝、171、拌莴笋、172、蒜泥菠菜、173、炝芹菜、174、糖醋三丝、175、麻香翡翠(菠菜、麻酱)、176、芥末肚丝、177、红油莴笋、178、芥菜肚丝 179、椒油甘蓝、 180、豆酱(肉皮冻)、181、焯江果 181、芥末墩 、189、八宝菠菜、190、糖醋卷心菜 、191、如何减少苦瓜的苦味、192、椒油莴笋、193、芥末肚丝 194、拌莴笋、195、如意白菜卷 、196、油吃黄瓜条 197、兰花泥肠 、198、酥香生菜包 、199、凉拌豆苗玉米笋、200、拌三色蚕豆、201、芝麻盐拌皮丝、202、什锦西瓜盅 、203、香蕉牛肉卷、204、辣汁泥肠、205、绍子芹菜、207、凉拌鱼腥草、208、尖椒黄瓜条、209、橙汁莲藕西瓜皮、210、金蛋冬瓜盏 、211、柠檬冬瓜菊、212、酱汁桃仁、213、拌葵花籽菜胆 、214、绿豆南瓜盅、215酱香苦瓜、216、家常果盘拼摆窍门、217、水晶肉、218、芝麻双丝海带、219、拌芦笋茄泥、220、卤水鸡蛋豆腐、221、银芽鸡丝榨菜、222、水果山药、223、椒盐花生224、陈醋全家福、
5,贝多芬的资料
路德维希?凡?贝多芬(Ludwig van Beethoven,1770-1827),德国最伟大的音乐家之一。祖籍荷兰(也有传说是波兰的),出生于德国波恩的平民家庭,很早就显露了音乐上的才能,八岁开始登台演出。1792年到维也纳深造,艺术上进步飞快。贝多芬信仰共和,崇尚英雄,创作了有大量充满时代气息的优秀作品,如:交响曲《英雄》、《命运》;序曲《哀格蒙特》;钢琴奏鸣曲《悲怆》、《月光》、《暴风雨》、《热情》等等。一生坎坷,没有建立家庭。二十六岁时开始耳聋,晚年全聋,只能通过谈话册与人交谈。但孤寂的生活并没有使他沉默和隐退,在一切进步思想都遭禁止的封建复辟年代里,依然坚守“自由、平等”的政治信念,通过言论和作品,为共和理想奋臂呐喊,写下不朽名作《第九交响曲》。他的作品受十八世纪启蒙运动和德国狂飙突进运动的影响,个性鲜明,较前人有了很大的发展。在音乐表现上,他几乎涉及当时所有的音乐体裁;大大提高了钢琴的表现力,使之获得交响性的戏剧效果;又使交响曲成为直接反映社会变革的重要音乐形式。贝多芬集古典音乐的大成,同时开辟了浪漫时期音乐的道路,对世界音乐的发展有着举足轻重的作用,被尊称为“乐圣”。 贝多芬于1770年12月16日诞生于德国波恩。父亲是该地宫廷唱诗班的男高音歌手,喜怒无常、嗜酒如命;母亲是一个厨司,心地善良、性情温柔。艰辛的生活剥夺了贝多芬上学的权利,他自幼表现出的音乐天赋,使他的父亲产生了要他成为音乐神童的愿望,成为他的摇钱树。他不惜打骂,迫使贝多芬从4岁起就整天没完没了的练习羽管键琴和小提琴。8岁时贝多芬首次登台,获得巨大的成功,被人们成为第二个莫扎特。此后拜师于风琴师尼福,开始学习作曲。11岁发表第一首作品《钢琴变奏曲》。13岁参加宫廷乐队,任风琴师和古钢琴师。1787年到维也纳开始跟随莫扎特、海顿等人学习作曲。1800年,在他首次获得胜利后,一个光明的前途在贝多芬的面前展开。可是三四年来,一件可怕的事情不停的折磨着他,贝多芬发现自己耳朵变聋了。对于一个音乐家来说,没有比失聪更可怕的了。因而人们可以在他的早期钢琴奏鸣曲的慢板乐章中理解到这种令人心碎的痛苦。 贝多芬无时不冲满着一颗火热的心,可是他的热情是非常不幸的,他总是交替地经历着希望和热情、失望和反抗,这无疑成了他的灵感源泉。1801年,贝多芬爱上了朱列塔?圭恰迪尔,他把《月光奏鸣曲》献给她。但是幼稚自私的奇丽爱太不理解他崇高的灵魂。1803年与他人结婚,这是令人绝望的时刻,他曾写下遗书。 1803年他从灰暗中走出来,写出了明朗乐观的《第二交响曲》。之后更多更好的音乐在他的笔下源源不断的涌现。《第三交响曲》(英雄)、《第五交响曲》(命运)、《第六交响曲》(田园),还有优美动听、洋溢着欢乐的小提琴协奏曲,以及绚丽多彩的钢琴协奏曲和奏鸣曲。 1823年,贝多芬完成了最后一部巨作《第九交响曲》(合唱)。这部作品创造了他理想中的世界。1826年12月贝多芬患重感冒,导致肺水肿。1827年3月26日,他在暴风雪中离开。终生未婚。29日出殡,送葬者有两万人,遗体葬于圣麦斯公墓。 作曲家只在人世间停留了57年,一生完成了一百多部作品。主要作品有交响乐9部;管弦乐几十首(《爱格蒙特序曲》最为著名);钢琴协奏曲5首,小提琴协奏曲一首;其他协奏曲5首;钢琴奏鸣曲32首(热情、月光、悲怆、黎明、暴风雨等最为著名);室内乐80首;歌剧1部〈〈弗德里奥〉〉;另有神剧1部;弥撒曲2首等等。 贝多芬作品集全套介绍(一) 一: 作品类型 作品名 原名 作品编号 创作时间 调式 交响曲 第一交响曲 Symphonie No.1 Op.21 1794--1796 C大调 交响曲 第二交响曲 Symphonie No.2 Op.36 1801-1802.10 D大调 交响曲 第三交响曲 (英雄) Symphonie No.3 OP.55 1803-1804 降E大调 交响曲 第四交响曲 Symphonie No.4 Op.60 1806.10 降B大调 交响曲 第五交响曲 (命运) Symphonie No.5 Op.67 1804-1808 C小调 交响曲 第六交响曲 (田园) Symphonie No.6 Op.68 1807---1808 F大调 交响曲 第七交响曲 Symphonie No.7 Op.92 1811-1812.6 A大调 交响曲 第八交响曲 Symphonie No.8 Op.93 1811-1812.10 F大调 交响曲 第九交响曲 (合唱) Symphonie No.9 Op.125 1824.2 D小调 交响曲 第十交响曲 Symphonie No.10 遗稿 交响曲 战争交响曲 Wellingtons Sieg Op.91 1813 D大调 序曲 莱奥诺拉 Leonore Overtures No.1-1805 No.2-1805 No.3-1806 No.4-1814 序曲 艾格蒙特 Egmond 1809 序曲 科里奥兰 Coriolanus Overture Op.93 1807 C大调 舞剧 普罗米修斯的生民 The Creatures of Prometheus Op.43 1800-1801 序曲 斯蒂芬国王 King Stephen Op.112 1811 序曲 向大厦献礼 The Consecration of the house Op.124 1822 C大调 骑士芭蕾音乐 Musik Zu einem Ritterballett WoO.1 1790-1791 序曲 命名日庆典序曲 Ouverture “Namensfeier” Op.115 1814 C大调 雅典的废墟 The ruins of Athens Op.113 舞曲 12首小步舞曲 12Menuette WoO.7 1795 舞曲 12首德国舞曲 12 Dertsche Tanze WoO.8 1795 舞曲 12首对舞曲 12 Kontratanze WoO.14 1800-1802 舞曲 6首兰德勒舞曲 6 Landlerische Tanze WoO.15 1802 D大调 舞曲 11首维也纳舞曲 11 Wienertanze WoO.17 1818-1820 舞曲 庆贺小步舞曲 Grarulations Menuett WoO.3 1822 进行曲 为乐队而作的进行曲(6首) Marsh for Orchetra WoO.18-22,24,29 1809-1810 协奏曲 第一钢琴协奏曲 Pinao Concertos No.1 Op.15 1796 C大调 协奏曲 第二钢琴协奏曲 Pinao Concertos No.2 Op.19 1794-1795 降B大调 协奏曲 第三钢琴协奏曲 Pinao Concertos No.3 Op.37 1800 C小调 协奏曲 第四钢琴协奏曲 Pinao Concertos No.4 Op.58 1805-1806 G大调 协奏曲 第五钢琴协奏曲 Pinao Concertos No.5 Op.78 降E大调 协奏曲 第六钢琴协奏曲 Pinao Concertos in D Op.61 1807 协奏曲 钢琴协奏曲 Pinao Concertos in E flat WoO.4 1784 回旋曲 钢琴与乐队的降B大调回旋曲 Rondo for Pinao and Orchestra in B flat WoO.6 1795 幻想曲 合唱幻想曲 Fantasie fur Klavier,Chor Und Orchester Op.80 1808 C小调 协奏曲 为小提琴,大提琴,钢琴三重奏 Triple Concerto for vilin Cello and Piano Op.56 1803-1804 C大调 贝多芬作品集全套介绍(二) 二: 作品类型 作品名 原名 作品编号 创作时间 调式 协奏曲 小提琴协奏曲 Violin Concerto Op.61 1806 D大调 浪漫曲 浪漫曲两首 2 Romances Op.40 1802-1803 C大调 小夜曲 小夜曲两首 2 Sereenades Op.8,Op.25 1796-11797 D大调 重奏 管乐8重奏 Wind Octet Op.103 1792 G小调 重奏 管乐7重奏 Wind Septet Op.20 1796-1800 降E大调 重奏 管乐6重奏 Wind Sextet Op.71 1796-1797 降E大调 重奏 管乐6重奏 Wind Sextet Op.81b 1794-1795 降E大调 重奏 管乐5重奏 Wind quintet Op.16 1796-1797 重奏 弦乐5重奏 (3首) String quintets O.p4.29.104 1800-1801 C大调 重奏 第一号弦乐4重奏 Steing quartet No.1 Op.18.1 1799.6 F大调 重奏 第二号弦乐4重奏 Steing quartet No.2 Op.18.2 G大调 重奏 第三号弦乐4重奏 Steing quartet No.3 Op.18.3 D大调 重奏 第四号弦乐4重奏 Steing quartet No.4 Op.18.4 1795 C小调 重奏 第五号弦乐4重奏 Steing quartet No.5 Op.18.5 A大调 重奏 第六号弦乐4重奏 Steing quartet No.6 Op.18.6 降B大调 重奏 第七号弦乐4重奏 Steing quartet No.7 Op.59.1 1806 F大调 重奏 第八号弦乐4重奏 Steing quartet No.8 Op.59.2 1806 E小调 重奏 第九号弦乐4重奏 Steing quartet No.9 Op.59.3 1806 C大调 重奏 第十号弦乐4重奏 Steing quartet No.10 Op.74 1809 降E大调 重奏 第十一号弦乐4重奏 Steing quartet No.11 Op.95 1810 F小调 重奏 第十二号弦乐4重奏 Steing quartet No.12 Op.127 1823 降E大调 重奏 第十三号弦乐4重奏 Steing quartet No.13 Op.130 1825 降B大调 重奏 第十四号弦乐4重奏 Steing quartet No.14 Op.131 1826 升C小调 重奏 第十五号弦乐4重奏 Steing quartet No.15 Op.132 1824-1825 A小调 重奏 第十六号弦乐4重奏 Steing quartet No.16 Op.135 1826.10 F大调 大赋格曲 Grosse Fugue in B flat Op.133 降B大调 重奏 弦乐4重奏 String quartet in F Hess 34 1801-1802 F大调 重奏 钢琴4重奏 Piano qiartets WoO.36 1785 重奏 第一号弦乐3重奏 String Trio No.1 Op.3 1796 降E大调 重奏 第二号弦乐3重奏 String trio No.2 Op.8 1796-1797 D大调 重奏 第三号弦乐3重奏 String trio No.3 Op.9..1 1796-1798 G 大调 重奏 第四号弦乐3重奏 String trio No.4 Op.9.2 1796-1798 D大调 重奏 第五号弦乐3重奏 String trio No.5 Op.9.3 1796-1798 C小调 重奏 第一钢琴3重奏 Piano trio No.1 Op.1.1 1792 降E大调 重奏 第二钢琴3重奏 Piano trio No.2 Op.1.2 1793-1794 G大调 重奏 第三钢琴3重奏 Piano trio No.3 Op.1.3 1793-1794 C小调 重奏 第四钢琴3重奏 Piano trio No.4 Op.11 1798 降B大调 重奏 第五钢琴3重奏 Piano trio No.5 Op.70.1 1808 D大调 重奏 第六钢琴3重奏 Piano trio No.6 Op.70.2 1808 降E大调 重奏 第七钢琴3重奏(大公) Piano trio No.7 Op.97 1811 降B大调 重奏 第八钢琴3重奏 Piano trio No.8 WoD.39 降B打调 重奏 第九钢琴3重奏 Piano trio No.9 WoD.38 1790-1791 降E大调 重奏 第十钢琴3重奏 Piano trio in E flat No.10 Op.44 1792 降E大调 重奏 第十一钢琴3重奏 Piano trio in G No.11 Op.121a 1803 G小调 重奏 第十二钢琴3重奏 Piano trio in E flat No.12 Op.38 1802-1803 降E大调 重奏 钢琴3重奏 Piano trio No.D D大调 重奏 木管3重奏 Woodwind trio in C Op.87 1794 C大调 重奏 3重奏 Trio in G WoD.37 1790 G大调 重奏 2重奏 String duo in E flat WoD.32 1795-1798 降E大调 奏鸣曲 圆号奏鸣曲 Horn Sonata in F Op.17 1800 F大调 主题与变奏 6首 6 Tema Con Variazioni Op.105 1817-1818 重奏 长笛2重奏 Flute duo in G WoD.26 1792 G大调 重奏 木管2重奏 3 Woodwind duos WoD.27 1792 C大调 变奏曲 根据歌剧<唐璜>主题的变奏曲 12 Variationen uber das Thema “La ci darem la mano” aus der Oper “Don Giovanni” Von W.A.Mozart WoD.28 1797 变奏曲 根据<费加罗的婚礼>主题的变奏曲 12 Variationen uber das Thema “Se Vuol ballare,Signor contino” aus der Oper “Le nozze di Figaro” Von W.A.Mozart WoD.40 1792-1793 F大调 奏鸣曲 第一大提琴奏鸣曲 Cello Sonata No.1 Op.5.1 1796-1797 F大调 奏鸣曲 第二大提琴奏鸣曲 Cello Sonata No.2 Op.5.2 G小调 奏鸣曲 第三大提琴奏鸣曲 Cello Sonata No.3 Op.69 1808 A大调 奏鸣曲 第四大提琴奏鸣曲 Cello Sonata No.4 Op.102.1 1815 G大调 奏鸣曲 第五大提琴奏鸣曲 Cello Sonata No.5 Op.102.2 1815 D大调 变奏曲 为大提琴和钢琴而作的变奏曲 Variationens for Cello and Piano G大调 变奏曲 根据<马卡布的犹大>主题的变奏曲 12 Variationen uber das Thema “See the Conquering hero”aus “Judas Maccabeus” Von G. F. Handel WoD.45 1796 G大调 贝多芬作品集全套介绍(三) 三: 作品类型 作品名 原名 作品编号 创作时间 调式 变奏曲 根据<魔笛>主题的变奏曲7段 7 Variationen uber das Thema “Bei Mannern,Selche Liebe Fuhln” aus der Oper “Zauberflote” Von W .A .Mozart WoD.46 1801 降E大调 变奏曲 根据<魔笛>主题的变奏曲12段 12 Variationen uber das Thema “Ein Madchen oder Weibchen” aus der Oper “Zauberflote” Von W.A.Mozart Op.66 1796 F大调 奏鸣曲 第1号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.12.1 1795 D大调 奏鸣曲 第2号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.12.2 1795 A大调 奏鸣曲 第3号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.12.3 1795 降E大调 奏鸣曲 第4号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.23 1800 A小调 奏鸣曲 第5号小提琴奏鸣曲(春天) Violin Sonata No.1 Op.24 1800 F大调 奏鸣曲 第6号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.30.1 1802 A大调 奏鸣曲 第7号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.30.2 C小调 奏鸣曲 第8号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.30.3 G大调 奏鸣曲 第9号小提琴奏鸣曲(克莱采) Violin Sonata No.1 Op.47 1803 A大调 奏鸣曲 第10号小提琴奏鸣曲 Violin Sonata No.1 Op.96 1811-1812 G大调 奏鸣曲 第1号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.1 Op.2.1 1795 F小调 奏鸣曲 第2号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.2 Op.2.2 1795 A大调 奏鸣曲 第3号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.3 Op.2.3 1795 C小调 奏鸣曲 第4号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.4 Op.7 1796-1797 E大调 奏鸣曲 第5号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.5 Op.10.1 1796-1798 C小调 奏鸣曲 第6号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.6 Op.10.2 F大调 奏鸣曲 第7号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.7 Op.10.3 D大调 奏鸣曲 第8号钢琴奏鸣曲(悲怆) Piano Sonata No.8 Op.13 1798-1799 C小调 奏鸣曲 第9号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.9 Op.14.1 1798-1799 E大调 奏鸣曲 第10号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.10 Op.14.2 G大调 奏鸣曲 第11号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.11 Op.22 1800 降B大调 奏鸣曲 第12号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.12 Op.26 1800-1801 降A大调 奏鸣曲 第13号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.13 Op.27.1 1800-1801 降E大调 奏鸣曲 第14号钢琴奏鸣曲(月光) Piano Sonata No.14 Op.27.2 1801 升C小调 奏鸣曲 第15号钢琴奏鸣曲(田园) Piano Sonata No.15 Op.28 1801 D大调 奏鸣曲 第16号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.16 Op.31.1 1801-1802 G大调 奏鸣曲 第17号钢琴奏鸣曲(暴风雨) Piano Sonata No.17 Op.31.2 D小调 奏鸣曲 第18号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.18 Op.31.3 降E大调 奏鸣曲 第19号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.19 Op.49.1 1805 G大调 奏鸣曲 第20号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.20 Op.49.2 G大调 奏鸣曲 第21号钢琴奏鸣曲(华尔斯坦) Piano Sonata No.21 Op.53 1803-1804 C大调 奏鸣曲 第22号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.22 Op.54 1804 F大调 奏鸣曲 第23号钢琴奏鸣曲(热情) Piano Sonata No.23 Op.57 1804-1806 F小调 奏鸣曲 第24号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.24 Op.78 1809 升F大调 奏鸣曲 第25号钢琴奏鸣曲(杜鹃) Piano Sonata No.25 Op.79 1809 G大调 奏鸣曲 第26号钢琴奏鸣曲(告别) Piano Sonata No.26 Op.81a 1809 降E大调 奏鸣曲 第27号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.27 Op.90 1814 E小调 奏鸣曲 第28号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.28 Op.101 1815-1816 A大调 奏鸣曲 第29号钢琴奏鸣曲(钢琴) Piano Sonata No.29 Op.106 1818-1819 降B大调 奏鸣曲 第30号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.30 Op.109 1818 E大调 奏鸣曲 第31号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.31 Op.110 1821 降A大调 奏鸣曲 第32号钢琴奏鸣曲 Piano Sonata No.32 Op.111 1819-1822 E小调 奏鸣曲 为选帝候而作的奏鸣曲 Kurfursten Sonates WoD.47 1782-1783 降E大调 变奏曲 英雄变奏曲 Eroica Variations Op.35 降E大调 变奏曲 狄亚贝里变奏曲 Diabelli Variations Op.120 1823 C大调 变奏曲 32段变奏曲 32 Variations on an Original Theme in C minor WoD.80 1806-1807 C小调 变奏曲 为钢琴而作的变奏曲(14首) Variationen for Piano 变奏曲 根据德莱斯勒的进行曲主题的变奏曲9首 9 Variationen uber einen Marsch Von E. C. Dressler WoD.63 1781 C小调 变奏曲 根据李基尼抒情小调主题的变奏曲24首 24 Variationen uber die Ariette “Venni amore” Von V. Righini WoD.65 1790 D大调 变奏曲 根据迪塔斯多夫抒情小调主题的变奏曲13首 13 Variationen uber die Ariette “Es War einmal ein alter Mann” aus dem Singspiel “Das rote Kappchen” Von K. D. Von Dittersdorf WoD.66 1792 A大调 变奏曲 根据海贝尔舞剧主题的变奏曲12首 12 Variationen uber das Thema “Menuett a la Vigano” aus dem Ballett “le nozze disturbate” Von J.Haibel WoD.68 C大调 变奏曲 根据拜谢罗歌剧主题的变奏曲6首 6 Variationen uber das Duett “Nel cor piu non mi sento” aus der Oper “La molinara” Von G.Paisiello WoD.70 1788 变奏曲 根据拜谢罗歌剧主题的变奏曲9首 9 Variationen uber das Thema “Lamor Contadino”ais der Oper “Lamolinara”Von G.Paisiello WoD.69 1795 A大调 变奏曲 根据伍拉尼兹基舞剧主题的变奏曲12首 12 Variationen uber das Thema “Russischen Tanz” aus dem Ballett “Das Waldmadchen” Von P. Wranitzky WoD.71 1796 A大调 变奏曲 根据格莱特里歌剧主题的变奏曲8首 8 Variationen uber das Thema “Une fievre brulant” aus der Oper “Richard Coeur de Lion” Von A.M.Gretry WoD.72 1796-1797 C大调 变奏曲 根据萨列里歌剧主题的变奏曲10首 10 Variationen uber das Thema “La stessa, la atessissima” aus der Oper “Falstaff” Von A.Salieli WoD.73 1799 降B大调 变奏曲 根据维特歌剧主题的变奏曲7首 7 Variationen uber das Quartett “Kind, Willst du ruterbrochene Opferfest” Von, P.Winter WoD.75 1799 F大调 变奏曲 根据苏斯麦耶尔歌剧主题的变奏曲6(8)首 6(8) Variationen uber das Tarzett “Tandeln und Scherzen” aus der Oper “Soliman Li order die drei Sultaninen” Von F. X. Sussmayr WoD76 1799 F大调 变奏曲 根据自己创作主题的变奏曲6首 6 Leichte Variationen Uber ein eigenes Thema WoD.77 1800 G大调 变奏曲 根据<神佑吾皇>主题的变奏曲7首 7 Variationen uber “God Save the King” WoD.78 1803 C大调 贝多芬作品集全套介绍(四) 四: 作品类型 作品名 原名 作品编号 创作时间 调式 变奏曲 根据<保卫大不列颠>主题的变奏曲5首 5 Variationen uber “Rule Britania” WoD.79 1803 D大调3 变奏曲 根据主题而创作的变奏曲32首 32 Variationen uber ein eigenes Thema WoD.80 1806 C小调 小品 小品7首 Sieben Bagatellen Op.33 1803 小品 新小品11首 Elf neue Bagatelle Op.119 1800-1821 小品 小品6首 Sechs Bagatellens Op.126 1823 回旋曲 为钢琴而作的回旋曲 Rondes for Piano 1797 C;G大调 幻想曲 幻想曲 Fantasia in G Minor Op.77 1809 G小调 前奏曲 前奏曲 Prelude in F minor WoD.55 1803 F小调 行板 可爱的行板 Andante favori WoD.57 行板 庄严的行板 Andante maestoso WoD.62 1826 C大调 舞曲 为钢琴而作的舞曲 Piano dances WoD81 1800 奏鸣曲 联弹用奏鸣曲 Piano Sonata in D Op.6 1796-1797 D大调 进行曲 联弹用大进行曲3首 3 Marsche Op.45 1802-1803 变奏曲 根据华德斯坦主题的变奏曲8首 8 Variationen uber ein Thema des Grafen Von Waldstein WoD.67 1791-1792 变奏曲 根据歌曲而作的变奏曲6首 Lied “Ich denke dein” mit 6 Variationen WoD.74 1799-1804 神剧 基督在橄榄山上 Oratorium “Christus am olberg” Op.85 1803 降E小调 弥撒曲 庄严大弥撒 Missa Solemnis Op.123 1818-1823 D大调 弥撒曲 弥撒曲 Mass in C Op.86 1807 C大调 清唱剧 <平静的海和幸福的航行> Kantate “Meeresstille und gluckliche Fahrt” Op.112 1814-1815 D大调 合唱曲 合唱曲13首 Choral Works Op.121b 歌剧 费德里奥 Fidelio Op.72 1802-1805 重唱 二重唱,三重唱,四重唱 Deets & Trio and Quartets Op.116 歌曲 歌曲 Lieder 民歌 英国民歌编曲(160首以上) Volksliedbearbeitungen 民歌 苏格兰民歌25首 25 Scottich Songs Op.108 1815-1816 民歌 爱尔兰民歌25首 25 Irish Songs WoD.152 1810-1813 民歌 爱尔兰民歌20首 20 Irish Songs WoD.153 1810-1813 民歌 爱尔兰民歌12首 12 Irish Songs WoD.154 1810-1813 民歌 威尔士民歌26首 26 Welsh Songs WoD.155 1810-1814 民歌 苏格兰民歌12首 12 Scottish Songs WoD.156 1817-1818 民歌 各国民歌12首 12 Songs of various nationality WoD.157 1814-1815 民歌 各国民歌集36首 Songs of various nationality WoD.158 1815-1818 参考资料:http://baike.baidu.com/view/3160.html\http://baike.baidu.com/view/21991.htm 回答者:bhdljwh - 秀才 三级 4-18 20:13贝多芬大事年表 1770年 12月17日,路德维希——宫廷歌手约翰·凡·贝多芬和妻子玛利亚玛格达蕾娜的第二个孩子,在波恩圣雷 ???????米吉乌斯教堂受洗。 1778年 3月26日,“六岁童星”首次登台公演。 1779年 10月,克里斯第安戈特罗布内弗来到波恩,担任贝多芬的老师。 1782年 通过弗兰茨·盖哈尔德·韦格勒结识了封·布罗伊宁一家。 ???????根据德赖斯勒尔的一首进行曲所作的九首变奏曲在曼海姆出版。 1784年 2月15日,科隆大主教和选侯马克西米利安·弗里德里希逝世;玛丽亚·特雷西亚 女皇最小的儿子马克西???????米利安·弗兰茨即位。 ???????6年27日,成为波思宫廷乐队的正式成员。 1787年 3月至4月,首次去维也纳旅行,与莫扎特会面。 ???????7月17日,其母因肺结核病故。 1788年 贝多芬后来的朋友和资助人华尔斯坦伯爵来到被恩。 ?????? 12月14日,卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫在汉堡逝世。 1789年 7月14日,法国大革命爆发。 1790年 2月20日,奥皇约瑟夫二世逝世。 ???????见多芬患下腹疼痛症。 ???????12月25日,约瑟夫·海顿旅行途中路过波恩。 1791年 3月6日,演出一首骑士芭蕾舞的配乐。 ???????12月5日,沃尔夫冈·阿马道伊斯·莫扎特在维也纳逝世。 1792年 11月2日,开始第二次维也纳之行。 ???????是年至1793年底,师事海顿。 ???????12月18日,其父在波恩逝世。 1793年?年底或者1794年初,在李希诺失斯基亲王举办的家庭晚会上首次演出三首三重奏 (作品1号)。 1794年 寓居李希诺夫斯基亲王家中。 1795年 3月29日,首次在绍也纳公演。 1796年 2月至6月,游历布拉格、德累斯顿、莱比锡和柏林普鲁士王宫。 ???????波拿巴统兵进攻意大利。 1797年 1月31日,弗兰兹·舒伯特出生于维也纳附近的利希滕塔尔。 ???????4月6日,在小提琴手、友人舒潘策希举办的音乐会上首次演出五重奏(作品16号)。 ???????5月,开始结识特蕾泽和约瑟菲妮·封·布伦什维克。 1798年 出现最初耳疾症状。 1800年 4月2日,在胡浮堡皇宫剧院举办首场个人音乐会,首次上演《第一交响曲》和《管弦乐七重奏》(作品???????20号)。 1801年 爱朱丽叶塔·桂察尔迪。 ???????6年1日和11月L6日,先后写信向友人阿芒达和韦格勒披露日渐重听的实情。 1802年 10月6日和10日,在海利根施塔特写下遗嘱。 1803年 4月5日,在维也纳歌剧院举办音乐会,首次上演《第二交响曲》和《第三钢琴协奏曲》。 ???????夏,在巴登和德普林谱写《英雄交响曲》。 ???????开始向奥地利鲁道夫大公爵传授钢琴演奏技巧和音乐理论。 1804年?秋天至1807年底,与约瑟菲妮·封·戴姆相爱;她娘家姓布伦什维克。 ???????5月20日,波拿巴称帝,宣告为拿破仑一世。 ???????8月11日弗兰兹一世就任奥地利皇帝。 1805年 4月7日,首次公演《第三交响曲(英雄)》。 ???????11月13日,法军占领维也纳。 ???????11月20日,首次上演《菲岱里奥》。 1806年 3月29日,首次上演《菲岱里奥》第二曲本。 ???????10月,与李希诺夫斯基亲王断交,结识拉苏莫夫斯基伯爵。 ???????12月23日,首次上演《小提琴协奏曲》(作品61号)。 1807年 3月,在格布科维茨亲王宫邸举办专场音乐会,首次演出《第四交响曲》、《科里奥兰序曲》和《第四钢???????琴协奏曲》。 1808年 10月,吉罗姆·波拿巴王室聘请贝多芬前往卡塞尔。 ???????12月22日,在维也纳歌剧院举办音乐会, 首次上演《
6,大学数学线性代数总结
一.矩阵等价vs向量组等价
矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的...
向量组等价不可以推出矩阵等价...因为向量组的等价...列向量的个数可以不一样
也就是不满足同型.
向量组的等价:
两个向量组等价说明:这两个向量组可以互相线性表示...所以r(A)=r(B)
但是两个向量组可以有不同的线性相关性...
很明显:一个秩不为n的n维列向量组等价与它的最大无关组...
但是这两个向量组构成的矩阵不等价..原因是:不同型
这两个向量组的线性相关性也不一样....最大无关组...线性无关
n维列向量组...线性相关....
最后结论:!!!!两个等价不可以互推!!!!!
二.A vs 伴随矩阵 A*
(1)当 r(A)=n 时 r(A*)=n
(2)当 r(A)=n -1时 r(A*)=1
(3)当 r(A)<=n-2 时 r(A*)=0
证明如下:
(1)AA*=|A|E
因为r(A)=n ,推出A可逆,所以n=r(|A|E)=r(AA*)=r(A*)
(2)r(A)=n-1,推出|A|=0,且存在n-1阶子式非0,所以A*≠0,r(A*)>=1
又|A|E=0=AA*
所以:r(A)+r(A*)<=n
所以:r(A*)=1
(3)当 r(A)<=n-2 时,A的n-1阶子式全部为0,所以A*=0
所以:r(A*)=0
PS:上面的结论可以互推
也就是说:逆命题成立.
三.特征值特征向量
(1)对于同一n阶矩阵A,不同特征值的特征向量线性无关..
(2)当出现特征值为重根时,对应于重根特征值的特征向量,假设为X1,X2
线性组合:k1x1+k2x2(k1,k2不全为0)仍然是A的特征向量
(3)不同特征值的特征向量之和一定不是A的特征向量(可以用反证法)
(4)对于某一个特征值的特征向量有无数个.只是我们在构造矩阵P时,只是用一
个(通常是基础解系)
几何空间性质
补充向量间关系的几何意义
1。若向量a1,a2线性相关,则必有a1//a2
2。若向量a1,a2线性无关,则他们相交或异面
3。若向量a1,a2,a3线性相关则a1//a2//a3或他们共面
4。若向量a1,a2,a3线性无关,则a1,a2,a3不共面
ps:这个方面我数三的考纲不要求..所以只是加上baoyu.song兄弟的话...
代数余子式
(1)代数余子式是有符号的..用逆序数来确定代数余子式的+-号
(2)用代数余子式来求矩阵的伴随矩阵时,记得要把余子式的行变列,列变行
(3)矩阵一行或者(列)的代数余子式与另一行(列)对应的元素乘积为0
(4)某一个代数余子式不受这个代数余子式的对应元素的影响....也就是跟他的元素无关了..
例如:a11,与A11...即使改变a11的值,但是它的代数余子式不变...
合同矩阵VS相似矩阵
首先说明:这些矩阵都是在实对称矩阵的基础上才有以下结论
(1)当A~B 时,矩阵A,B有相同的特征值,根据正交变换可以矩阵A,B有相同的二次型
所以有相同的正负惯性系数....所以.两矩阵合同
结论:两实对称矩阵相似,可以推出两矩阵合同
(2)由实对称矩阵必可以对角化得到:存在正交矩阵P,使得P(T)AP=∧
根据合同矩阵的定义得:任一个实对称矩阵必合同于一个对角矩阵
概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确
注:全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.
注
√ 关于 :
①称为 的标准基, 中的自然基,单位坐标向量 ;
② 线性无关;
③ ;
④ ;
⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.
行列式的定义
√ 行列式的计算:
①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若 都是方阵(不必同阶),则 (拉普拉斯展开式)
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线: (即:所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和)
⑤范德蒙德行列式:
矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作: 或
伴随矩阵 , 为 中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
① 注:
②
③
√ 方阵的幂的性质:
√ 设 的列向量为 , 的列向量为 ,
则 , 为 的解 可由 线性表示.即: 的列向量能由 的列向量线性表示, 为系数矩阵.
同理: 的行向量能由 的行向量线性表示, 为系数矩阵.
即:
√ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;
用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵:
分块矩阵的逆矩阵:
分块对角阵相乘: ,
分块对角阵的伴随矩阵:
√ 矩阵方程的解法( ):设法化成
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动)
④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动)
⑤ 两个向量线性相关 对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关 .
⑥ 向量组 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.
向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.
⑧ 维列向量组 线性相关 ;
维列向量组 线性无关 .
⑨ 若 线性无关,而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一.
⑩ 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为 ;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是 时,称为行最简形矩阵
? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系;
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘 ;
对 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘 .
矩阵的秩 如果矩阵 存在不为零的 阶子式,且任意 阶子式均为零,则称矩阵 的秩为 .记作
向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作
矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作:
向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作:
? 矩阵 与 等价 , 可逆 作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵 与 作为向量组等价
矩阵 与 等价.
? 向量组 可由向量组 线性表示 有解 ≤ .
? 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则 线性相关.
向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ .
? 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价;
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
? 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定.
? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
? 设 是 矩阵,若 , 的行向量线性无关;
若 , 的列向量线性无关,即: 线性无关.
√ 矩阵的秩的性质:
① ≥ ≤ ≤ ②
③
④
⑤ ≤
⑥ 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若 ;
若
⑧ 等价标准型.
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